·        GEOMETRIA FRACTAL

Un fractal és un objecte semigeomètric l'estructura bàsica del qual, fragmentada o irregular, es repeteix a diferents escales .El terme va ser proposat pel matemàtic Benoît Mandelbrot en 1975 i deriva del Llatí 'fractus', que significa trencat o fracturat. Moltes estructures naturals són de tipus fractal. Un fractal ha de complir totes les característiques següents.

-Es massa irregular per a ser descrit en termes geomètrics tradicionals              

-Poseeix detall a qualsevol escala d'observació                                                    

-Es versemblant (exacta, aproximada o estadística)                                                  

-La seua dimensió d'Hausdorff-Besicovitch es estrictament major que la seua dimensió topològica                                                                                                 
-Es defineix per mitjà d'un simple algoritme recursiu. No ens basta amb una sola d'estes característiques per a definir un fractal. Per exemple, la recta real no es considera un fractal, perquè a pesar de ser un objecte versemblant no té la resta de característiques exigides.

Un fractal natural és un element de la naturalesa que pot ser descrit per mitjà de la geometria fractal. Els núvols, les muntanyes, el sistema circulatori, les línies costaneres o els flocs de neu són fractals naturals. 

•   La dimensión fractal

El mesurament de formes fractals (fronteres, poligonals, etc,) ha obligat a introduir conceptes nous que van més enllà dels conceptes geomètrics clàssics. Un fractal està constituït per elements cada vegada més xicotets, el concepte de longitud no està clarament definit: Quan es vol mesurar una línia fractal amb una unitat, o amb un instrument de mesura determinat, sempre hi haurà objectes més fins que escaparan a la sensibilitat de la regla o el instrument utilitzat, i també a mesura que augmenta la sensibilitat de el instrument augmenta la longitud de la línia. Açò succeïx amb la corba de Koch.

Cada pas en la gènesi de la corba augmenta un terç la seua longitud. És a dir la longitud de la corba que ocupa l'espai inicial va augmentant en cada pas la seua longitud de forma indefinida. Cada corba és 4/3 de l'anterior:

D'aquesta manera la corba augmentaria indefinidament la seua longitud per a un fragment tancat de corba.                                                                                                         

Pot açò ser ací?.

Com la longitud de linea fractal depèn de la longitud d'instrument, o de la unitat de mesura que prenguem, la noció de longitud en estos casos, no té sentit. Per a això s'ha ideat un altre concepte: el de dimensió fractal. Que en el cas de les línies fractals ens va a indicar de quina forma o en que mesura una línea fractal plena una porció de pla. I que a més siga una generalització de la dimensió euclidià.                                                                                                                           

 Sabem que en geometria clàssica un segment té dimensió, un cercle té dimensió dos, i una esfera té dimensió tres. Perquè siga coherent amb el que s'ha dit una línia fractal ha de tindre dimensió menor que dos (no plena tota la porció de plano). I en els casos del conjunt de Cantor i de la corba de Koch menor i major que un respectivament: En el primer cas no plena tot el segment de recta, i en el segon és més llarg. No obstant això el cas del conjunt de Cantor és excepcional i no es pot considerar pròpiament un fractal, en general el que succeïx és que la longitud de la corba fractal és superior al del segment de recta que ho genera, i per tant en general la dimensió fractal serà un número comprés entre un i dos.